تعداد خطوط حاصل از اتصال نقاط 🌟

عنوان مسئله

تعداد پاره‌خط‌هایی که می‌توان از اتصال 10 نقطه روی یک خط تشکیل داد، چقدر است؟ 🤔

تشریح مسئله و اصطلاحات

این مسئله یک مسئله ترکیبیاتی ساده است. در این نوع مسائل، هدف ما شمارش تعداد حالات ممکن برای انجام یک کار خاص است. در اینجا، کار مورد نظر اتصال دو نقطه از بین 10 نقطه موجود است. پاره‌خطی که از اتصال دو نقطه به دست می‌آید، یک ترکیب دو عضوی از مجموعه 10 نقطه‌ای است. 💫

روش اول: استدلال ساده

برای تشکیل یک پاره‌خط، به دو نقطه نیاز داریم. از بین 10 نقطه موجود، می‌توانیم هر دو نقطه‌ای را انتخاب کنیم تا یک پاره‌خط ایجاد شود. بنابراین، تعداد کل پاره‌خط‌ها برابر با تعداد روش‌های انتخاب 2 نقطه از بین 10 نقطه است. این تعداد را می‌توان با استفاده از فرمول ترکیب محاسبه کرد: 🌟

C (10, 2) = \frac{10!}{2! (10 - 2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45

بنابراین، می‌توان 45 پاره‌خط مختلف از اتصال 10 نقطه روی یک خط تشکیل داد. 🎉

روش دوم: فرمول ترکیب

فرمول کلی برای محاسبه تعداد ترکیبات k-تایی از یک مجموعه n-عضوی به صورت زیر است:

C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

در مسئله ما، n = 10 و k = 2. با جایگذاری این مقادیر در فرمول، به همان نتیجه قبلی می‌رسیم: 💫

C (10, 2) = \frac{10!}{2! (8)!} = 45

روش سوم: استدلال گام به گام

می‌توانیم این مسئله را با یک استدلال گام به گام نیز حل کنیم. نقطه اول می‌تواند با 9 نقطه دیگر متصل شود تا 9 پاره‌خط ایجاد کند. نقطه دوم می‌تواند با 8 نقطه باقی‌مانده (به جز نقطه اول) متصل شود تا 8 پاره‌خط جدید ایجاد کند. و به همین ترتیب، نقطه سوم می‌تواند با 7 نقطه دیگر متصل شود و ... . اما اگر این روش را ادامه دهیم، هر پاره‌خط دو بار شمرده می‌شود (یک بار از دیدگاه نقطه اول و یک بار از دیدگاه نقطه دوم). بنابراین، باید نتیجه نهایی را بر 2 تقسیم کنیم. 🌟

تعداد کل پاره‌خط‌ها برابر است با:

\frac{9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1}{2} = \frac{45}{2} =